微分　e^x 

${\displaystyle {\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x}$　微分しても関数は変化しない

■導出

${\displaystyle {\left(e^x\right)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}}$　　（導関数の定義より）

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{e^x\left(e^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}}$

${\displaystyle =e^x\left\{\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right\}}$　･･････(1)

${\displaystyle =e^x}$    (∵${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1}$  より⇒ここを参照)

●他の方法

(1)において

${\displaystyle e^{\Delta x}-1=t}$　･･････(2)

とおく．(2)を ${\displaystyle \Delta x}$ について解く．

${\displaystyle e^{\Delta x}=t+1}$

対数の定義より

${\displaystyle \Delta x=\log \left(t-1\right)}$　･･････(3)

(3)を(1)に代入して，計算を進める． ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ のとき ${\displaystyle t\to 0}$ より

${\displaystyle {\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x\left\{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\log \left(t-1\right)}\right\}}$

${\displaystyle =e^x\left\{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{\log \left(t-1\right)}{t}}}\right\}}$

${\displaystyle =e^x\left\{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{t}\log \left(t-1\right)}}\right\}}$

${\displaystyle =e^x\left\{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\log {\left(t-1\right)}^{\frac{1}{t}}}\right\}}$　（∵対数の性質 ${\displaystyle {\log }_a{R}^t=t{\log }_{a}R}$ ）

${\displaystyle =e^x\left\{\frac{1}{\log \left(\underset{t\to 0}{\lim }{\left(t-1\right)}^{\frac{1}{t}}\right)}\right\}}$ 　（ ∵ ${\displaystyle e}$ の定義 ${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }{\left(t-1\right)}^{\frac{1}{t}}=e}$ ）

${\displaystyle =e^x\cdot \frac{1}{\log e}}$

${\displaystyle =e^x\cdot 1}$

${\displaystyle =e^x}$

 

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最終更新日 2024年7月12日